
Une croissance exponentielle ?
(Le taux de croissance économique mondiale est environ de 3% par an, au début du 21ème siècle.)
- Qu'est-ce que cela signifie pour un pays, d'avoir une croissance de 3% par an ?
- Pourquoi parle-t-on de croissance exponentielle ?
Alors, en préambule, un peu de mathématiques... que personne ne s'inquiète, aucun calcul n'est à faire ! :-) :
Quand on entend 3%, beaucoup pensent aux intérêts à payer pour un emprunt. Par exemple, un emprunt de 100 euros à un taux de 3%. Dans ce cas, le pourcentage de 3% s'applique au capital de départ : c'est à chaque fois 3% de 100, soit 3 euros.
(Ce n'est pas négligeable comme chacun le sait, puisque dans le cas d'un emprunt de 100 000 euros à 4% sur 25 ans, l'emprunteur aura finalement payé à sa banque le double, soit 200 000 euros !)
Mais dans le cas d'une croissance annuelle de 3%, ce pourcentage s'applique chaque année au capital accumulé, soit 3% du capital atteint l'année précédente et cela, à chaque année !
Même pour un pourcentage plus faible, par exemple 1%, la croissance est de type exponentielle, c'est-à-dire que l'augmentation devient de plus en plus rapide : elle s'accélère de plus en plus vite !
Une augmentation infinie de 3% d'un capital fixe, ou 3% d'un capital augmenté chaque année de 3%, dans les deux cas, cela est mathématiquement impossible dans un système fini aux ressources limitées, comme sur la planète Terre. Cependant, dans le deuxième cas, les limites sont atteintes extrêmement plus vite.
Voici en exemple un calcul avec un capital de départ de 100 :
- dans la première colonne, les années ;
- dans la deuxième colonne, les 3% sont appliqués à un montant fixe de 100, soit +3 chaque année ;
- dans la troisième colonne, les 3% sont appliqués au capital obtenu l'année précédente :
Exemple mathématique d'une croissance illimitée à 3%
Année 00 : % = 100 croissance = 100
Année 01 : % = 103 croissance = 103
Année 02 : % = 106 croissance = 106.09
Année 03 : % = 109 croissance = 109.2727
Année 04 : % = 112 croissance = 112.55088
Année 05 : % = 115 croissance = 115.92741
Année 06 : % = 118 croissance = 119.40523
Année 07 : % = 121 croissance = 122.98739
Année 08 : % = 124 croissance = 126.67701
Année 09 : % = 127 croissance = 130.47732
Année 10 : % = 130 croissance = 134.39164
Année 11 : % = 133 croissance = 138.42339
Année 12 : % = 136 croissance = 142.57609
Année 13 : % = 139 croissance = 146.85337
Année 14 : % = 142 croissance = 151.25897
Année 15 : % = 145 croissance = 155.79674
Année 16 : % = 148 croissance = 160.47064
Année 17 : % = 151 croissance = 165.28476
Année 18 : % = 154 croissance = 170.24331
Année 19 : % = 157 croissance = 175.35061
Année 20 : % = 160 croissance = 180.61112
Année 21 : % = 163 croissance = 186.02946
Année 22 : % = 166 croissance = 191.61034
Année 23 : % = 169 croissance = 197.35865
Année 24 : % = 172 croissance = 203.27941
Année 25 : % = 175 croissance = 209.37779
Année 26 : % = 178 croissance = 215.65913
Année 27 : % = 181 croissance = 222.1289
Année 28 : % = 184 croissance = 228.79277
Année 29 : % = 187 croissance = 235.65655
Année 30 : % = 190 croissance = 242.72625
Année 31 : % = 193 croissance = 250.00803
Année 32 : % = 196 croissance = 257.50828
Année 33 : % = 199 croissance = 265.23352
Année 34 : % = 202 croissance = 273.19053
Année 35 : % = 205 croissance = 281.38625
Année 36 : % = 208 croissance = 289.82783
Année 37 : % = 211 croissance = 298.52267
Année 38 : % = 214 croissance = 307.47835
Année 39 : % = 217 croissance = 316.7027
Année 40 : % = 220 croissance = 326.20378
Année 41 : % = 223 croissance = 335.98989
Année 42 : % = 226 croissance = 346.06959
Année 43 : % = 229 croissance = 356.45168
Année 44 : % = 232 croissance = 367.14523
Année 45 : % = 235 croissance = 378.15958
Année 46 : % = 238 croissance = 389.50437
Année 47 : % = 241 croissance = 401.1895
Année 48 : % = 244 croissance = 413.22519
Année 49 : % = 247 croissance = 425.62194
Année 50 : % = 250 croissance = 438.3906
Année 51 : % = 253 croissance = 451.54232
Année 52 : % = 256 croissance = 465.08859
Année 53 : % = 259 croissance = 479.04125
Année 54 : % = 262 croissance = 493.41248
Année 55 : % = 265 croissance = 508.21486
Année 56 : % = 268 croissance = 523.4613
Année 57 : % = 271 croissance = 539.16514
Année 58 : % = 274 croissance = 555.3401
Année 59 : % = 277 croissance = 572.0003
Année 60 : % = 280 croissance = 589.16031
Année 61 : % = 283 croissance = 606.83512
Année 62 : % = 286 croissance = 625.04017
Année 63 : % = 289 croissance = 643.79138
Année 64 : % = 292 croissance = 663.10512
Année 65 : % = 295 croissance = 682.99827
Année 66 : % = 298 croissance = 703.48822
Année 67 : % = 301 croissance = 724.59287
Année 68 : % = 304 croissance = 746.33065
Année 69 : % = 307 croissance = 768.72057
Année 70 : % = 310 croissance = 791.78219
Année 71 : % = 313 croissance = 815.53566
Étude de ces résultats :
La première année, pas de différence, le capital obtenu est 103. Mais ensuite, dans le cas d'une croissance de 3%, l'accélération est saisissante :
- Au bout de 33-34 ans, le capital est doublé dans le premier cas, alors qu'il ne faut que 24 ans pour le doubler dans le deuxième cas.
- Au bout de 67 ans, le capital est triplé dans le premier cas, alors que dans le deuxième cas, il est déjà 7 fois plus important.
- Enfin, au bout de 71 ans, dans le premier cas, il y a un peu plus de 3 fois le capital (313) alors que dans le deuxième cas, le capital est multiplié par 8 (815) !!
Dans la troisième colonne, pour une croissance de 3%, un premier doublement (100 x 2) est obtenu au bout de 23-24 ans, puis il y a un nouveau doublement (100 x 2 x 2) au bout de 47 ans et enfin un nouveau doublement (100 x 2 x 2 x 2) au bout de 71 ans.
Avec une croissance de 3%, le total est doublé tous les 23-24 ans !
Pour maintenir une croissance économique à 3%, il faut doubler, tous les 23-24 ans, les apports en matières premières, énergie, etc. !
La fonction mathématique correspondante est F(x)=2x . Ce doublement des besoins a lieu quelque soit le pourcentage de croissance, seule change la durée en nombre d'années avant doublement : il s'agit d'une croissance exponentielle.
Si ce raisonnement est appliqué à la croissance d'un pays, ou de l'ensemble des pays, il devient évident que les limites sont celles de la planète : pour une telle croissance (3% étant environ la croissance économique mondiale du début du 21ème siècle), il faudrait des ressources illimitées en énergie et en matières premières, en particulier concernant les réserves de pétrole, or ce n'est le cas pour aucune ressource !!
La vidéo, dans l'article suivant, prend tout son sens et ce calcul y est illustré par l'exemple du grain de blé dans la première case d'un échiquier et dont la quantité est doublée à chaque fois dans les cases suivantes...